Algèbre linéaire Exemples

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & - 2 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 & - 2 & 1 & - 1 & 0 \\ 1 & - 1 & 1 & - 2 & 1 \end{array}]$

Étape 1

Déterminez la forme d’échelon en ligne réduite.

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Étape 1.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

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Étape 1.1.1

Perform the row operation

R_{2} = R_{2} - R_{1}

$R_{2} = R_{2} - R_{1}$ to make the entry at

2, 1

$2, 1$ a

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 - 1 & - 2 + 3 & 1 - 1 & - 1 - 0 & 0 + 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 2 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 1 - 1 & - 2 + 3 & 1 - 1 & - 1 - 0 & 0 + 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 2 & 1 \end{array}]$

Étape 1.1.2

Simplifiez

R_{2}

$R_{2}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 2 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 2 & 1 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 2 & 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 1 & - 1 & 1 & - 2 & 1 \end{array}]$

Étape 1.2

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

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Étape 1.2.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - R_{1}

$R_{3} = R_{3} - R_{1}$ to make the entry at

3, 1

$3, 1$ a

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 1 - 1 & - 1 + 3 & 1 - 1 & - 2 - 0 & 1 + 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 1 - 1 & - 1 + 3 & 1 - 1 & - 2 - 0 & 1 + 1 \end{array}]$

Étape 1.2.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & - 2 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & - 2 & 2 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & - 2 & 2 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & - 2 & 2 \end{array}]$

Étape 1.3

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at

3, 2

$3, 2$ a

0

$0$ .

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Étape 1.3.1

Perform the row operation

R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}

$R_{3} = R_{3} - 2 R_{2}$ to make the entry at

3, 2

$3, 2$ a

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 2 - 2 \cdot 1 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 - 2 \cdot 0 & 2 - 2 \cdot 1 & 0 - 2 \cdot 0 & - 2 - 2 \cdot - 1 & 2 - 2 \cdot 1 \end{array}]$

Étape 1.3.2

Simplifiez

R_{3}

$R_{3}$ .

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & - 3 & 1 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.4

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ to make the entry at

1, 2

$1, 2$ a

0

$0$ .

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Étape 1.4.1

Perform the row operation

R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}

$R_{1} = R_{1} + 3 R_{2}$ to make the entry at

1, 2

$1, 2$ a

0

$0$ .

[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot - 1 & - 1 + 3 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 + 3 \cdot 0 & - 3 + 3 \cdot 1 & 1 + 3 \cdot 0 & 0 + 3 \cdot - 1 & - 1 + 3 \cdot 1 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 1.4.2

Simplifiez

R_{1}

$R_{1}$ .

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & - 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & - 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & - 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & - 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & - 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 1 & - 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & - 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

Étape 2

The pivot positions are the locations with the leading

1

$1$ in each row. The pivot columns are the columns that have a pivot position.

Pivot Positions:

a_{11}

$a_{11}$ and

a_{22}

$a_{22}$

Pivot Columns:

1

$1$ and

2

$2$

Étape 3

The rank is the number of pivot columns.

2

$2$